Existe uma relação, entre duas grandezas basilares das matemáticas, que me despertou interesse substancial a alguns meses, quiçá anos; fazendo e fazendo a 4ª operação da aritmética inúmeras vezes, com diversos valores — nas grandezas basilares — determinados como verídicos por cômputo anterior, percebo que todos os resultados possuem relação ao raio da circunferência, em razão de ser a segunda parte do raio da circunferência.
1 Definições primeiras
Existe a equação padrão, conhecidíssima, equação a se obter, como de costume, a circunferência de um círculo: C = 2π · R; podemos manipular algebricamente e conseguir outras satisfações, a exemplos, R = C/2π, 2π = C/R. Essas, em específico, manipulações não nos são importantes, é precípuo, todavia, uma em particular, uma a que, a partir da relação entre área (A) e circunferência (C), podemos tirar uma grandeza tão particular quanto: a metade do raio (R(raio)/2), segunda parte do raio, duma circunferência.
Seja, porquanto, M a segunda parte do R tal que A sobre C é igual a M se, e somente se, R for o mesmo para A e C; M é a segunda parte — metade — do R. Algebricamente temos, a partir da relação entre área e circunferência, as seguintes satisfações:
Se M = A/C, então A = M · C;
Se A = M · C, então C = A/M;
Em conclusivo, temos novas equações a partir de uma “nova” grandeza M para encontrar outras grandezas, as que já possuem, em boa consolidação, equações satisfatórias. É relativamente útil ao cabo de termos grandezas já conhecidas, a exemplo, R e C, e precisamos ter a área em mãos, cujo cômputo seria demasiado alongado se partíssemos de π · R², basta que, com base na equação 'A = C · M', multipliquemos C por M, esta última de cuja obtenção é demasiado fácil, e obteríamos tão logo a bendita área, objeto de nosso almejo —, o mesmo raciocínio serve a outras equações que “descobrimos”.
Posso estar louco — ignorante é bem mais o caso —, mas não encontrei ninguém, vivo ou morto, dedicando um pouco do tempo terreno à relação entre área e circunferência (comprimento da circunferência, tal como outros a chamam); é claro, não é, definitivamente, uma questão dificílima, complexa, precípua a toda matemática — às matemáticas — de modo a mudá-la, de a “descoberta” avante, completamente —, é, afirmo, uma questã puramente per basilar geometria euclidiana que de relance, assim suponho, talvez o próprio Euclides falara a respeito. Mas é como eu disse, no sentido pragmático da coisa, ajudar-nos-á a resolver problemas, os que, a partir das equações apresentadas, tornar-se-ão ligeiramente mais fáceis a sua resolução. Vamos, demais, às provas.
2 Teorema
Seja M a segunda parte do R tal que A sobre C é igual a M, segunda parte — metade — do R. Temos que, formalmente, M = A/C. Seja A e C, respectivamente, área e circunferência (comprimento da circunferência). Temos que a razão de A e C é igual a M — formalmente A/C = M — como dantes vimos, porém, agora, todas as grandezas estão bem definidas e/ou estabelecidas. Agora, por quê?
Área formalmente é escrita A = π · R², ao passo que a circunferência C = 2π · R; tal que R/2 = π · R² / 2π · R, pois, como vimos, M é igual à segunda parte do raio — formalmente M = R/2 — tal que A sobre C é igual a M — formalmente A/C = M — se, e somente se, R for o mesmo para A e C. Agora, façamos, de modo a resolver, a equação formada: R/2 = π · R² / 2π · R; paulatinamente, a ver se R/2 = π · R² / 2π · R é verdadeira, e, caso for, então a equação M = A/C e suas derivações a partida da qual, também o será, pois, como concluímos acima, R/2 = π · R² / 2π · R é igual a M = A/C.
Ao executarmos manipulações algébricas simples temos que:
R/2 = π · R² / 2π · R (Partamos, a princípio, subtraindo os expoentes das potências);
R/2 = π / 2π · R (Sigamos a dividir 1π por 2π);
R/2 = 1 / 2 · R (E aqui já é o bastante, mas sigamos mais longe);
R/2 = 1 / 2 · R (Prossigamos multiplicando 1/2 por R);
R/2 = R/2 (E aqui já mais do que suficiente, mas prossigamos ainda);
R/2 = R/2 (Multipliquemos os dois lados da equação por 2);
R = R/2 · 2 (Multipliquemos R por 2);
R = 2R/2 (Por fim, dividamos 2 por 2);
R = R (E aqui chegamos à final resolução: que a equação R/2 = π · R² / 2π · R é verdadeira assim como M = A/C também o é, pois M = A/C é igual a R/2 = π · R² / 2π · R);
Em conclusivo, temos que M = A/C é um teorema para quaisquer círculos de raio R.